В общем, опытным путём был найден костыль (об этом, в принципе, и в первом посте этой темы говорится). Теперь шаблон начинаю с того, что захожу на мейл.ру и залогиниваюсь там. После этого кубик "Принять почту" срабатывает как надо. Такие дела.
Та же фигня, пробовал и с мейл.ру, и с яндексом. Неужели за полтора года так и не нашли решение этой проблемы? Ведь тогда получается, что кубик "Принять почту" - нерабочий.