Если нет кнопки отправить, то это с 99% вероятностью - инвизибл рекапча.
@Alex733 может помочь допилить рекапчагнайзер, чтоб он сабмитил форму сам (через браузер), если дефолтный автосабмит не канает. К слову, его решение поможет и для простой отправки, без рекапчагнайзера.
POST запросом через
https://www.google.com/recaptcha/api/siteverify не пойму что в параметре secret передавать?
Это урл верификации рекапчи, который используется на бекенде сайта - только вебмастер туда шлёт данные, вы не имейте секретного ключа сайта (secret key), поэтому даже не нужно пробовать что-то туда запихать.
g-recaptcha-response отправляется в соответствующем поле с формой, которая сабмитится.
Вообще нужно просто посниффать и посмотреть как там уходит запрос и сэмулировать тоже самое поведение. Но если совсем непонятно будет что, как и куда - можно посмотреть в архиве рекапчагнайзера тестовый шаблон для GET/POST режима - там достаточно понятно всё описано и прокомментировано как и куда нужно слать, а также откуда брать урл, куда отправляется g-recaptcha-response.
PS: понятно дело, что тут не о рекапчагнайзере речь, но проще объяснить на его примерах, чем переписывать то, что уже и так сделано в его шаблонах