Нет. Нужно отправлять POST запрос, как я описал выше.
В общем, каким-то чудесным образом, повторив все действия позже, всё получилось.
Отправляем POST запрос, обновляем страницу, если капча так и осталась, значит решаем её ещё раз и обновляем страницу, после второго раза попадаем на страницу где...