Принципиально C#?
Можно из экшена "Свой JavaScript код":
localStorage.setItem("persist:root", "some important data");
В настройках экшена поставить выполнять на текущей странице и не забыть указать переменную для возвращаемого значения (даже если ничего не возвращается. В противном случае экшен будет возвращать ошибку).
Если же С# обязателен, то как-то можно JavaScript выполнять и из C#, но как это делается я сейчас не скажу. Это надо либо лезть в документацию, либо гуглить по форуму, где-то эта инфа была.
UPD (17.01.2021):
Есть C# методы для сохранения и загрузки localsStorage -
LoadLocalStorage и
SaveLocalStorage (с помощью данных методов можно сохранить весь localsStorage, а не его отдельный элемент).
Так же подобные методы существуют для IndexedDB и SuperCookie. Подробности по ссылке -
клик